Closed semiring とか

Closed semiring って a* = 1 + a* a というクロージャ演算が入った半環ってなだけかと思っていたのだけど，(1) 可算無限個の和の収束性と (2) 可算無限の和への積の分配性が先にあるのね．これらの性質があれば a* = a + a + a^2 + ... が定義できて，上の等式が満たされると．

Kleene algebra だとクロージャ演算が先にあるので勘違いしてた．

閑話休題．

Semiring 上の行列は再び semiring を成すわけだけど，同様に closed semiring の行列も closed semiring をなすらしい．よくやる行列の掃き出し操作を元のclosed semiringのクロージャ演算で一般化した操作が行列のクロージャ演算を与えてくれるようで……　よく解らんけど 1/(1-a) = 1 + a + a^2 + ... = a* という関係から擬似的な割り算がクロージャ演算で導入できるというのが肝なのか？

そして行列の行列のsemiringとか作れるけどその意味が分からない．

更にどうでも良いけど Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics ってのがあったんだなぁと．普段LNCSばっかだし．