作用素のドメインの不思議

「作用素 T: V -> W に対して，そのドメインを D(T) = { v | v in V, Tv がある} としてレンジを R(T) = { Tv | v in V } とする」，なんてことが教科書に書かれているのだけど，素朴な疑問として「なんで D(T) とか必要なの？　Vと同じでないの？　つか，初めから V = D(T) としておけば？」と思う．んで，議論の結果，T が partial function なら V と D(T) は違うだろうから両方あって然るべきという事になったのだけど……　そしたら V は D(T) を含む任意の集合で良いわけで．例えば，整数から実数への関数 f は f: Z -> R とか書くのが自然なのだけど，f: C -> R とか書いて D(f) = Z と付記しても良いことになるし f: Any -> R とかやってもいいことになって……　型が違うのに同じかぁ，というかそもそも T:V -> W の V の意味がなくなるじゃん．訳分からん．