antidifference と factorial polynomial

知らんかったのでメモ．

f(x) の antidifference g(x) は f(x) = g(x+1)-g(x) で定義される．この定義のもと f(x) の x = k, k+1, ..., k+n における和を考えると，ちょうど前後の g(x) が打ち消しあって始点と終点の g(x) の差になる．

f(k)+f(k+1)+f(k+2)+...+f(k+n) 
= g(k+1)-g(k)+g(k+2)-g(k+1)+g(k+3)-g(k+2)+...+g(k+n+1)-g(k+n) 
= g(k+n+1)-g(k)

まあ，g が f の積分と考えればそうだなと．んで，k の n 次多項式で， k^{n} = k * (k-1) * (k-2) * ... * (k-(n-1)) の形のものを factorial polynomial というらしく，この factorial polynomial k^{n} の antidifference は k^{n+1}/(n+1) になる．連続の場合の x^n の積分が x^{n+1}/(n+1) であることに対応すると．

で，これらの事実を使うと，適当な多項式 p(x) の和 S(n) = p(1) + ... + p(n) が簡単に求まると．これは，p(k) が m 次多項式であれば p(k) を k^{i} の線形和 p(k) = \sum_{i=0}^{m} a_i k^{i} であらわせて，その antidifference が P(k) = \sum_{i=0}^{m} a_i k^{i+1}/(i+1) となるので， あとは S(n) = p(1) + ... + p(n) = P(n+1) - P(1) で和が求められると．

大昔に i^2 の和が 1/6*(2n+1)*(n+1)*n だとか教えられた記憶が歩けど一般化した話は知らんかったので少々感動．

使い道のない知識だけど．